Ömer el-Hayyâm

Daha çok dörtlük biçiminde yazmış olduğu felsefî şiirlerle tanınan
Ömer el-Hayyâm (1045-1123), aynı zamanda matematik ve astronomi
alanlarındaki çalışmalarıyla bilimin gelişimini etkilemiş seçkin bir
bilim adamıdır.

Matematiğe ilişkin araştırmaları özellikle sayılar kuramı ile cebir
alanında yoğunlaşmıştır. Eukleides’in Elementler’i üzerine yapmış
olduğu bir yorumda, işlemler sırasında irrasyonel sayıların da
rasyonel sayılar gibi kullanılabileceğini ilk defa kanıtlamıştır.

En değerli cebir yapıtlarından birisi olan Risâle fî’l-Berâhîn alâ
Mesâili’l-Cebr ve’l-Mukâbele’de (Cebir Sorunlarına İlişkin Kanıtlar)
denklemlerin birden fazla kökü olabileceğini göstermiş ve bunları, kök
sayılarına göre sınıflandırmıştır.

Bunun dışında, Ömer el-Hayyâm’ın üçüncü dereceden denklemleri de,
terim sayılarına göre tasnif ettiği ve her grubun çözüm yöntemlerini
belirlediği görülmektedir. Buna göre, üçüncü dereceden denklemler, üç
terimliler ve dört terimliler olarak ikiye ayrılır ve üç terimliler,

[mat]x^3 + cx^2 = bx[mat]
[mat]x^3 + bx = cx^2[mat]
[mat]cx^2 + bx = x^3[mat]
olarak ve dört terimliler ise,

[mat]x^3 + cx^2 + bx = a[mat]
[mat]x^3 + cx^2 + a = bx[mat]
[mat]x^3 + bx + a =cx^2[mat]

[mat]cx^2 + bx + a = x^3[mat] ve
[mat]x^3 + cx^2 = bx + a[mat]
[mat]x^3 + bx = cx^2 + a[mat]

[mat]x^3 + a = cx^2 + bx[mat]

olarak sıralanır. El-Hayyâm üçüncü derece denklemlerinin aritmetiksel
olarak çözülemeyeceğine inandığı için, bu denklemleri koni kesitleri

yardımıyla geometrik olarak çözmüş, negatif kökleri, daha önceki
cebirciler gibi, çözüm olarak kabul etmemiştir.

Şimdi,
[mat]x^3 + cx^2 = a[mat] denklemini nasıl çözdüğünü görelim: Yandaki
şekilde,
[mat]AB = c[mat] ve [mat]H^3 = a[mat] olsun. AB’nin uzantısı üzerinde [mat]BT = H[mat]
alınsın ve AB’ye B noktasından bir dikme çıkılsın.
[mat]BC = H[mat] olsun ve
BCDT karesi tamamlansın. BCDT karesi üzerine H yüksekliğine sahip bir
küp çizilsin. D köşesinden, asimptotları BC ve BT olan EDN hiperbolü
ve A köşesinden, AT eksenli ve BC parametreli AK parabolü
çizildiğinde, bu hiperbol ile parabol kesişmek zorundadırlar. Kesişme
noktaları E olsun. E’den AT ve BC doğrularına iki dikme inilsin ve
bunlar EZ ve EL olsun. Bu durumda
[mat]x = BZ[mat] olacaktır.

Kanıt : [mat]EZ^2 = AZ*BC[mat] (parabolün özelliğinden) *

[mat]{AZ}/{EZ}={EZ}/{BC}[mat]

[mat]EZ*BZ = BC*BT = BC^2[mat] (hiperbolün özelliğinden)

[mat]{BZ}/{BC} = {BC}/{EZ}[mat] olur ve ikinci ifadenin karesi alınırsa,

[mat]{BZ^2} /{BC^2} = {BC^2} / {EZ^2}[mat] elde edilir.

[mat]AZ = BZ + AB[mat] olduğuna göre,
[mat]BC^3 = BZ^2*(BZ + AB) = (BZ^3 + BZ^2)*AB[mat]
elde edilir. [mat]BC = H[mat],
[mat]H^3 = a[mat], [mat]AB = c[mat] olarak verildiğinden, [mat]a = (BZ^3 + c*BZ^2 )[mat] bulunur.
BZ yerine x konursa, orijinal denklem elde edilecektir; öyleyse [mat]BZ = x[mat] olmalıdır.

Ömer el-Hayyâm’ın astronomi alanındaki çalışmaları da çok önemlidir.
Eskiden beri kullanılmakta olan takvimlerin düzeltilmesi için Selçuklu
Sultanı Celâleddin Melikşâh (1052-1092), 1074-1075 yılları civârında
İsfahan’da bir gözlemevi kurdurmuş ve başına da dönemin en ünlü
astronomlarından biri olan Ömer el-Hayyâm’ı getirmişti. Ömer el-Hayyâm
ile arkadaşlarının yapmış olduğu araştırmalar sonucunda, daha önce
kullanılmış olan takvimleri düzeltmek yerine, mevsimlere tam olarak
uyum gösterecek yeni bir takvim düzenlemenin daha doğru olacağına
karar verilmiş ve bu maksatla gözlemler yapılmaya başlanmıştır.
Gözlemler tamamlandığında, hem Zîc-i Melikşâhî (Melikşâh Zîci) adlı
zîc ve hem de et-Târîhu’l-Celâlî denilen Celâleddin Takvimi
düzenlenmiştir (1079). Celâleddin Takvimi, bugün kullanmakta olduğumuz
Gregorius Takvimi’nden çok daha dakiktir; Gregorius Takvimi, her 3330
yılda bir günlük bir hata yaptığı halde, Celâleddin Takvimi 5000 yılda
yalnızca bir günlük hata yapmaktadır.